2019年10月09日 栏目首页
声波在空气中的传播和衰减
1、声波方程
声振动必须满足三个基本的物理定律，即牛顿第一定律、质量守恒定律以及描述压强、温度、体积等状态参数的状态方程。应用这三个定律可以推导出声波传播中的连续性方程、运动方程和物态方程，并进一步得到波动方程—— 、 和 对时间空间坐标的偏微分方程。作如下假设：①媒质为理想流体，即媒质中不存在黏滞性，声波传播时没有能量损失;②没有声扰动时，媒质在宏观上是静止的、均匀的，因此媒质中静压强 、静态密度 都是常数;③声波传播时，媒质中稠密和稀疏的过程是绝热的;④假设是小振幅声波，即满足：
声压 比大气压 要小得多，即 ;
质点的位移 比波长 要小得多，即 ;
质点振动速度 比声速 要小得多，即 ;
介质密度的相对变化要远远小于1，即 。
上述假设称为理想流体媒质小振幅假定。可以分别推导连续性方程、运动方程和物态方程。
(1)连续性方程：是物质不灭定律在流体运动描述中的数学应用。对体积元 ，单位时间流入 的质量与流出 的质量之差等于该体积元内质量的变化率。由此可得体积元 在x、y、z方向上质量的增量。
并由此得到单位时间 内总的质量增量的矢量形式如下式， 为拉氏算子。
(2)运动方程
运动方程是声压对于距离的梯度等于媒质密度和质点振动速度乘积的负值。在声场中取一体积元 ，当有声波作用于体积元上，各方向的压强将发生变化。设体积元在静止时的压强为 ，密度为 ，声波产生的瞬时声压为 ，因体积元足够小，可认为作用在各面的压力均匀。对 方向，利用简单力学分析和牛顿第二定律得：
由于是小振幅声波，其密度的变化可忽略，即 ，可得声波在 、 、 三个方向产生的加速度分别为：
式中： ——瞬时声压，Pa;
、 、 ——质点振动速度 在 、 、 三方向上的分量。
可得到运动方程，式中 为拉普拉斯算符。
(3)物态方程
媒质在声波作用下，引起压缩、膨胀的交替变化，媒质的密度和压强都发生了变化，即媒质的状态发生了变化。声波传播时，理想状态下媒质的密度发生变化，而没有能量的损耗，即为等熵绝热过程。
物态方程一般可写作： 考虑绝热条件，上式简化为： 理想状态的物态方程为： (4)波动方程
联立理想液体媒质中三个基本方程：连续方程式、运动方程式和物态方程式，可推出理想液体媒质中小振幅传播的 、 、 中任意变量的波动方程，得到以下三式：
声压波动方程： 密度波动方程： 振速波动方程： 波动方程分别反映了声压、密度、振速随时空变化的关系。式中拉普拉斯算子 在直角坐标系中展开为：
推导波动方程时，只是从媒质的基本特性出发，利用牛顿第二定律、物质守恒定律和绝热压缩方程，并未涉及声源及声场的具体情况，因此波动方程只反映声波在媒质传播过程的一般物理特性。[NT:PAGE]
2、声波在空气中的传播
从理想液体媒质中的小振幅声波波动方程可看出，声压是空间和时间的函数，可以用来描述不同地点在不同时刻的声压变化规律。根据声波传播时波阵面形状的不同，可将声波分为平面波、球面波和柱面波。
(1)平面波
当声波的波阵面是垂直于传播方向的一系列平面时，称其为平面声波。
在平面波情况下， 只和 有关， ，故平面波的波动方程为：
其解为：
式中，符号“+”表示声波沿 负方向传播，符号“—”表示声波沿正方向传播，A为声压的幅值。
对于沿 正方向传播的简谐平面声波，声压的表达形式为： 式中， ，称为波数。可令 。
质点的振动速度为： ，式中 称为质点振动的速度振幅。
声波传播中一个重要的参数——声阻抗率，只与介质的密度 和介质中的声速 有关，而与声波的频率、振幅无关，单位是 。
平面波的特征阻抗为： 平面声波传播时具有下述特性：声压和质点速度同相位;在理想介质中声压不随距离变化;介质的质点速度也不随距离变化;空气的特征阻抗是常数;平面波的声强 ;平面波的声功率 。
(2)球面波
声波以球面波传播时， 只和球面坐标的 有关，其波动方程为：
令 代入上式得： 与平面波的波动方程一致，由此得到球面波的解的一般形式为：
式中，前项代表声波以速度 沿半径向外发散的球面波，后项代表向球心会聚的球面波(反射波)，在无限空间条件下不存在反射波。如果振动是简谐方式的，则上式变为：
根据运动方程得到径向质点振速与声压的关系：
因此球面波的声阻抗率为： 与平面波不同，辐射球面波时介质的声阻抗率是负数，它具有纯阻和纯抗两部分，并与半径 、波长 有关。因此，声压与质点不同相。球面波声阻抗的幅值为 ，它比平面波的声阻抗率要小。距离声源大时( )，声阻抗率接近平面波的特征阻抗。
球面声波通常具有如下的传播特性：
①理想介质中声压与球面波的半径成反比。
②声压与振速间的相位差与 成反比。
③介质声阻抗率为复数，当球面波半径很大时纯抗分量可以忽略。
④半径很大时声强 ，声强与距离平方成反比。
(3)柱面波
若声源为长圆柱形，其长度远大于波长，辐射的波阵面为同轴圆柱面，这种声波称为柱面声波。这时 ，其中 为圆柱长度，柱面波波动方程为：
对于远场，简谐柱面声波有： 柱面波的声阻抗率在 时，有： 柱面声波的传播特性为：
①在理想介质中，声压近似与距离的平方根成反比。
②介质声阻抗率为复数，当 很大时，声抗分量可以忽略。
③在距离较大时，柱面波的声强 ，声强与距离成反比。每单位长度辐射的功率是 。
(4)声源的指向性
声源在自由场中向外辐射声波时，声压级随方向的不同呈现不均匀的属性，称为声源的指向性。声源指向性常用指向性因数 或指向性指数 来表示。指向性因数 的定义是：声场中某点的声强，与同一声功率声源在相同距离的同心球面上的声强之比。指向性因数 无量纲。
式中： ——任意方向上一定点的声强， ;
——通过与该点同心球面上的平均声强， 。
式中： ——任意方向一定点上某频率的声压，dB;
——通过与该点同心球面上同一频率的声压，dB。
声源的指向性与声源的大小和辐射波长有关。当声源小到可视为点声源大小的程度时，以声源为中心，声波以近似球面的形式向外均匀发散;当声源尺寸远大于声波波长时，如声波以声束形式，集中向一个方向发散，则可认为该声波具有较强的指向性。[NT:PAGE]
3、声波的衰减
声源发出的噪声在媒质中传播时发生反射、折射和衍射等现象，其声压或声强将随着传播距离的增加而逐渐衰减。这些衰减通常包括声能随距离的发散传播引起的衰减 、空气吸收引起的衰减 、地面吸收引起的衰减 、屏障引起的衰减 和气象条件引起的衰减 等，总衰减量 可表示为：
(1)扩散引起的衰减
声源辐射噪声时，声波向四面八方传播，波阵面随距离增加而增大，这种由于扩散、声强随传播距离增加而衰减的现象称扩散衰减。
①点声源：点声源在各向同性的均匀介质中传播时，声波的形式是以声源为中心的球面波，在同一半径的球面上各点声波的相位相同。这种无指向性的声波，声强和声功率之间存在如下关系： 位于刚性地面上的声源产生的声波，因只能向一半的空间辐射，其接收点的声强可如下式计算：
常温时球面声波扩散衰减的表达式为： 为接收点的声压级; 为声源的声功率级; 为接收点到中心的距离; 为修正系数，自由空间 ，半自由空间 。
距声源中心半径分别为 和 的两点间的扩散衰减用声压级差表示为： 如果声源具有指向性，则声波的扩散衰减可表示为： ②线声源：若每单位长线状声源的声功率为 ，在距离声源为 点上的声压 与声功率的关系为： ，用声压级表示为： ，若声源无指向性，则 ，距离声源分别为 和 的两点间的声压级差，或者说扩散衰减量为： ③面声源：矩形面声源的情况较为常见，但其计算较复杂。
(2)空气吸收引起的衰减
声波传播时空气吸收衰减产生的原因是，声波在空气中传播时，空气中相邻质点的运动速度不同会产生黏滞力，将使声能转变为热能消耗掉。声波传播时，空气介质发生压缩和膨胀的周期变化，相应的发生温度的升高和降低，温度梯度的出现，将导致热传导方式的热交换，从而使声能转化为热能。空气中主要的分子是双原子的氧分子和氮分子，一定状态下空气分子转动或振动时存在固有频率。无声时介质分子微观运动处于一种动态平衡状态，当有声扰动且声波频率接近分子微观运动的频率时，使能量转化平衡被打破，建立新的平衡需要一定的时间，此种由原来平衡到建立新的平衡的过程为“热驰豫过程”，将使声能耗散而使声强衰减。上述原因使得声波在空气中传播时出现衰减，即空气吸收衰减，衰减与空气温度、湿度和声波频率有关。
因空气吸收而引起的声强随距离的指数衰减关系为： (3)其他原因引起的衰减
①雪、雨、雾的影响
②温度梯度的影响
③风场的影响
④地面效应的影响
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